Cálculo de la proporción áurea

Una de las actividades desarrolladas en las sesiones de nuestro grupo de divulgación, involucro hablar de este número en particular por parte de dos de nuestros beneficiarios.

Aquí, queremos detallar como se obtienen los valores que conocemos de \(\phi\).

Cálculando \(\phi\)

Para iniciar debemos tener en cuenta una de sus definiciones geométricas, en las cuales se entiende que el todo es a la parte mayor como la parte mayor es a la parte menor. Si llamamos a la parte mayor \(b\) y a la parte menor \(a\), y el todo es la suma de ambas partes, tenemos que:

\( \begin{eqnarray} \frac{a+b}{b} &=& \frac{b}{a} = \phi\\ a(a+b) &=& b^2\\ 0 &=& b^2 - ab - a^2 \end{eqnarray} \)

Ahora, la ecuación que obtenemos es de segundo grado en ambas variables por lo cual podemos usar la expresión dada por la formula general en alguna de las dos, lo que nos permite obtener:

\( \begin{eqnarray} b &=& \frac{-(-a) \pm \sqrt{(-a)^2 - 4(1)^2(-a^2)}}{2(1)^2} \\ b&=& \frac{a \pm \sqrt{a^2 + 4a^2}}{2} \\ b&=& \frac{a \pm \sqrt{5a^2}}{2} \\ b&=& \frac{a \pm a\sqrt{5}}{2} \\ b&=& a\left(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\right) \end{eqnarray} \)

Ahora, sustituimos este resultado en uno de los lados de la proporción planteada inicialmente:

\( \begin{eqnarray} \phi &=& \frac{b}{a} \\ \phi &=& \frac{a\left(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\right)}{a} \\ \phi &=& \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \approx \left\lbrace \begin{matrix}1.618034\\-0.618034\end{matrix} \right. \end{eqnarray} \)

Resulta una curiosidad que la segunda opción en la proporción áurea sea justo la parte decimal de la primera opción. Por cuestión de uso, y como igual hablamos de proporciones, el signo no importará y finalmente nuestros dos valores para la proporción áurea son 1.618034 y 0.618034, correspondientes respectivamente a la parte mayor si la menor es 1 y a la parte menor si la mayor es 1 (queda para el lector verificar verificar que el segundo cumple exactamente la misma proporción que el primero).

Reunión de grupo 20170204

La sesión inicia con las indicaciones generales sobre los cambios presentes para el año 2017 y los elementos presentes del año anterior. Referenciar las reglas en el correo enviado la semana anterior.

Daniel Muñoz realiza la exposición sobre “Relatividad y viajes en el tiempo” de la cual se conversa sobre la relatividad especial y queda pendiente la parte de relatividad general. Hay énfasis en los conceptos básicos requeridos y un extenso análisis de la simultaneidad y del diagrama de Minkowski. Hay disponible presentación. Si tienes cuenta de slideshare nos la compartes por ese medio o la mandas por correo y empezamos a crear un espacio común para el material.

Queda pendiente para aclarar algunos temas expuestos en la sesión de relatividad que Edward Villegas realice una sesión sobre partículas fundamentales.

Edward Villegas realiza el inicio de las actividades “avanzadas” mediante una actividad de nivelación de matemáticas. La primera sesión correspondió a los conjuntos numéricos y su origen, enmarcados en un contexto histórico y cultural en el cual los números aparecen como una necesidad en un orden que coincide con la jerarquía de los mismos. Queda como actividades:

  1. Dibujar un rectángulo de forma natural. Recomendación: No se esmere por hacer un rectángulo bonito ni le ponga lógica al asunto. Simplemente, dibuje el primer rectángulo que se le ocurra.
  2. Sacar \(\sqrt{2}\) en la calculadora y a mano elevar al cuadrado ese número. Recomendación: El efecto que se desea mostrar es el mismo sin importar el número de cifras que use para escribir \(\sqrt{2}\) (puede usar 7 cifras como la calculadora básica del celular).
  3. Concepto de la suma. Recomendación: No lo busque, defina con sus propias palabras. La idea de esta actividad es contrastar lo que entendemos de la suma y lo que realmente es.
  4. Recomendación extra: Traer regla y calculadora (para esta última sirve la del celular).